Distribution law or distribution function

ျဖန္႔ျဖဴးပ်ံ႕ႏွ႔ံေနတဲ့ ျဖစ္ႏုိင္ေျခေတြအားလံုးကို ေပါင္းျပထားတဲ့ function ပါပဲ။ အဲဒီ့ထက္ ရွင္းေအာင္ေျပာရရင္ random process ကုိ limit တန္ဖိုးတစ္ခုေပးၿပီး အဲဒီ့ေအာက္ကျဖစ္ႏုိင္ေျခေတြကို ေပါင္းထားတာ ပဲျဖစ္ပါတယ္။ အဲဒါကို function ေလးနဲ႕ျပတာပါ။ graph ေလးနဲ႕လည္းျပေလ့ရွိပါတယ္။ သခၤ်ာ equation နဲ႕ျပမယ္ဆုိေတာ့ နည္းနည္းရႈပ္သလိုျဖစ္သြားတာပါ။ တကယ္ေတာ့ ရွင္းရွင္းေလးပါပဲ။ F(x) သည္ distribution function ျဖစ္တယ္ဆုိၾကပါစို႔ရဲ႕။ ဒါဆုိရင္ လို႔ေရးပါတယ္။ X က random process ပါ။ x က ေတာ့ ရိုးရိုး ျဖစ္ရပ္တစ္ခု ပါပဲ။ အဲဒီျဖစ္ရပ္ေတြကို coordinate ေပၚတင္ၾကည့္မွာမို႕ argument လို႕ကၽြန္ေတာ္သံုးပါမယ္။ P(X) ဟာ X ရဲ႕ ျဖစ္ႏုိင္ေျခ (သို႔) ျဖစ္တန္စြမ္းပါပဲ။ အဓိပၸါယ္ကေတာ့ argument x ထက္ငယ္သမွ် random process X ရဲ႕ ျဖစ္ႏုိင္ေျခကို distribution function လို႔ သတ္မွတ္တာပါပဲ။ ရႈပ္ေနေသးတယ္ဆုိရင္ ဥပမာေလးကိုၾကည့္ပါ။ discrete random variable တစ္ခုအတြက္ distribution function ကုိ ဘယ္လုိတည္ေဆာက္သလဲဆုိတာၾကည့္ၾကရေအာင္။ ပံု (၁) မွာ discrete random variable တစ္ခုအတြက္ ျဖစ္ႏုိင္ေျခကိုဆြဲထားပါတယ္။

ဒီဥပမာမွာဆုိၾကပါစို႕။ ဒါဆိုရင္ distribution function F(x) ဟာ သံုညပါပဲ။ ရွင္းပါတယ္။ ဒီမွာ x1 ထက္ငယ္တဲ့ argument မရွိတဲ့အတြက္ အဲဒီ့မရွိတဲ့ argument ေတြရဲ႕ ျဖစ္ႏုိင္ေျခက သံုညျဖစ္သလုိ distribution function ကလည္း သံုညပါပဲ။ အကယ္၍ဆုိရင္ေတာ့ ျဖစ္ပါလိမ့္မယ္။ F(x) ဟာ x1 နဲ႔ x2 ၾကားကျဖစ္ႏုိင္ေျခရယ္၊ x1 ရဲ႕ျဖစ္ႏုိင္ေျခရယ္၊ x1 ထက္ငယ္တဲ့ argument ေတြရဲ႕ ျဖစ္ႏုိင္ေျခပါပဲ။

ဒီ function ရဲ႕ ထူးျခားခ်က္ေတြကို ေျပာရမယ္ဆုိရင္

• ၁။ ဒါကရွင္းပါတယ္။ distribution function ဟာ သူစဥ္းစားမဲ့ argument ထက္ငယ္တဲ့ argument ေတြရဲ႕ ျဖစ္ႏုိင္ေျခေတြကိုေပါင္းတာျဖစ္တဲ့အတြက္ negative infinity ထက္ငယ္တဲ့ argument ေတြရဲ႕ ျဖစ္ႏုိင္ေျခကိုတြက္တဲ့အခါ သံုညပဲ ျဖစ္ပါလိမ့္မယ္။
• ၂။ အကယ္၍ x2 ဟာ x1 ထက္ၾကီးေနခဲ့မယ္ဆုိရင္ x2 ရဲ႕ distribution function ဟာ x1 ရဲ႕ distribution function ထက္ႀကီး ပါလိမ့္မယ္။ distribution function ကိုက သူစဥ္းစားမဲ့ argument ထက္ငယ္တဲ့ argument ေတြရဲ႕ ျဖစ္ႏုိင္ေျခေတြကိုေပါင္းတာဆုိေတာ့ ဒီအခ်က္ကရွင္းပါတယ္။
• ၃။ သေဘာကေတာ့ infinity မွာရွိမယ့္ argument ဆုိေတာ့ အၾကီးဆံုး argument ကိုဆုိလုိတာပါပဲ။ သူ႕ေအာက္က argument ေတြဆုိေတာ့ အားလံုးပါသြားပါၿပီ။ argument အားလံုးရဲ႕ ျဖစ္ႏုိင္ေျခေပါင္းလဒ္ဟာ ၁ ျဖစ္ပါတယ္။

ပံု (၁) မွာေရးဆြဲထားတဲ့ probability distribution ကို ပံု (၂) မွာ distribution function အေနနဲ႕ ေဖာ္ျပထားပါတယ္။

General requirements of measurement accuracy of height and aircraft vertical speed

Height နဲ႕ Vertical speed တိုင္းတာတဲ့ equipment ဟာ ယခုေခတ္ေပၚ aircraft ေတြမွာ မရွိမျဖစ္ မပါမျဖစ္ပါရမယ့္ ပစၥည္းတစ္ခုျဖစ္လာပါတယ္။ အဲဒီ equipment ေတြ တနည္းအားျဖင့္ altimeter ေတြအကူအညီနဲ႔ problem ေတြကိုေျဖရွင္းေပးပါတယ္။

• ၁။ ေလယာဥ္ သို႔မဟုတ္ ဟယ္လီေကာ္ပတာမ်ား စတက္သည့္အခ်ိန္မွ ဆင္းသက္သည့္အခ်ိန္အတြင္း ထိန္းသိမ္းေမာင္းႏွင္ျခင္း၊
• ၂။ ေျမမ်က္ႏွာျပင္ပံုသ႑န္အား ေလယာဥ္မွ သို႕မဟုတ္ အာကာသယာဥ္ေပၚမွ တုိင္းတာျခင္း၊
• ၃။ အျခားၿဂိဳလ္မ်ားေပၚသို႕ အာကာသယာဥ္မ်ား ညွင္သာေသာဆင္းသက္မႈ soft landing စနစ္မ်ားတြင္ အလိုအေလ်ာက္ထိန္းသိမ္းျခင္း၊
• ၄။ အာကာသယာဥ္မ်ားအား ပဲ့ထိန္းစနစ္ျဖင့္ပစ္လႊတ္ၿပီးေနာက္ လမ္းေၾကာင္းတစ္ေလ်ာက္ အလြတ္ ပ်ံသန္းေနေစရန္ အလိုအေလ်ာက္ထိန္းသိမ္းျခင္း၊
• ၅။ Satellite မ်ားႏွင့္ ၿဂိဳလ္မ်ား၏ အျမင့္ကိုတုိင္းတာျခင္း၊
• ၆။ ေနရာအမ်ိဳးမ်ိဳးတြင္အသံုးျပဳေသာပစၥည္းမ်ား၌ အျမင့္တုိင္းတာျခင္း။

Altimeter ကိုအသံုးျပဳၿပီးေျဖရွင္းတဲ့ problem ေတြေတာ္ေတာ္မ်ားမ်ားဟာ အထက္ပါ assignment ေတြက problem ေတြပဲျဖစ္ပါတယ္။

ပိုင္းေလာ့ရဲ႕ orientation အတြက္ tactical problem ေတြေျဖရွင္းဖို႕ altimeter ဟာအေျခခံ ကိရိယာျဖစ္ပါတယ္။ ဒီ့အျပင္ ဒီေရအတက္အက်ရွိေသာ၊ ေရခဲတုံးမ်ားေမ်ာေနေသာ သမုဒၵရာေရမ်က္နွာျပင္ရဲ႕ level ၊ ေရလွိဳင္း အျမင့္ အစရွိသည္တို႕ကုိလည္း altimeter မ်ားအသံုးျပဳ၍တုိင္းတာႏိုင္ပါတယ္။

လ၊ မားစ္ၿဂိဳလ္၊ ဗီးနပ္စ္ၿဂိဳလ္ အစရွိတဲ့ၿဂိဳလ္ေတြရဲ႕မ်က္ႏွာျပင္ေတြေပၚ အာကာသယာဥ္ေတြဆင္းသက္ မႈကို soft landing လို႕ေခၚပါတယ္။ အဲလုိဆင္းသက္မႈမ်ိဳးေတြမွာ altimeter ႏွစ္မ်ိဳးမွ တစ္မ်ိဳးမ်ိဳးကို သံုးေလ့ရွိပါတယ္။ အဲႏွစ္မ်ိဳးကေတာ့ high-altitude radio altimeter (75-10km)၊ low-altitude radio altimeter (12km-3m)။

Satellites မ်ားမွာ altimeter တပ္ဆင္ၿပီး ကမၻာ့ geoid ကိုတုိင္းတာျခင္းဟာ သမားရိုး geophysical study နည္းလမ္းမ်ားထက္ ပိုၿပီးတိက်ပါတယ္။ အကယ္၍ global geoid ကိုတိုင္းတာမယ္ဆုိရင္ measurement accuracy ကို 5 m အထိလက္ခံပါတယ္။ altimeter နဲ႕တုိင္းတဲ့အခါမွာေတာ့ measurement accuracy ကို 1 m အထိတိုင္းတာႏိုင္ပါတယ္။

Altimeter ေတြမွာ အေျခခံက်တဲ့ factor ေတြကေတာ့ height measurement accuracy and aircraft vertical speed ပဲျဖစ္ပါတယ္။ aircraft ေတြရဲ႕ class ကြဲျပားသလို တိုင္းတာတဲ့အခါ လုိအပ္တဲ့ accuracy ကလည္းကြဲျပားေနတာေၾကာင့္ ဘယ္ေလာက္ထိအမွားခံႏိုင္သလဲ ဆုိတာကို တိတိက်က်ေပးဖုိ႕လုိအပ္ပါတယ္။ ဆုိလုိတာက altimeter တစ္လံုးစတင္တည္ေဆာက္ ေတာ့မယ္ဆုိရင္ ဘယ္လိုရည္ရြယ္ခ်က္နဲ႕သံုးမယ္၊ ဘယ္လုိ aircraft အမ်ိဳးအစားမွာသံုးမယ္၊ accuracy ဘယ္ေလာက္ရွိရမယ္ဆုိတာမ်ိဳးကိုတိတိက်က်သိထားဖုိ႕လုိအပ္ပါတယ္။ တကယ္တမ္းကေတာ့ altimeter ေတြဟာ မညီညာတဲ့မ်က္ႏွာျပင္ကုိ ရုိက္ၿပီးျပန္လာတဲ့ signal ကိုအသံုးျပဳရတာျဖစ္ပါတယ္။ အဲဒါေၾကာင့္ Height နဲ႕ Vertical speed တိုင္းတာတဲ့အခါ ျဖစ္လာတဲ့အမွားဟာ random character ရွိပါတယ္။ မ်ားေသာအားျဖင့္ measurement accuracy ကို “ ∆ “ နဲ႕ျပေလ့ရွိၿပီး ျဖစ္ႏိုင္ေျခ P(∆) = 0.95 ယူေလ့ရွိပါတယ္။ တကယ္လို႕ measurement error က Gaussian distribution အတုိင္းပ်ံ႕ႏွံ႔ေနတယ္ဆုိရင္ measurement accuracy ဟာ ∆ = 2 sigma‌‌‌‌ . sigma - one-sigma value. Table 1.1 မွာ တခ်ိဳ႕ေသာ aircraft ေတြရဲ႕ measurement error မ်ားကိုသူတို႕ရဲ႕ technical characteristic ေတြနဲ႕တြဲျပထားပါတယ္။

Requirements of measurement accuracy ဟာ ပစၥည္းတည္ေဆာက္ရာ၌ရႈပ္ေထြးမႈ ႏွင့္ ပစၥည္းတန္ဖိုးတို႕ႏွင့္ ဆက္စပ္ေနပါတယ္။ ဒါေၾကာင့္ requirements of measurement accuracy of height and aircraft vertical speed တုိ႕ကိုေရြးခ်ယ္တြက္ခ်က္တဲ့အခါ ဘယ္ေလာက္ safety ျဖစ္သလဲ၊ mass ဘယ္ေလာက္ရွိမလဲ၊ အရြယ္အစား၊ တန္ဖိုး အစရွိသည္တုိ႕ကိုပါထည့္သြင္းစဥ္းစားတြက္ခ်က္ ရပါတယ္။ measurement accuracy ကိုထိခိုက္ႏိုင္တဲ့ ေနာက္ထပ္အေရးႀကီးတဲ့ parameter ေတြရွိပါေသးတယ္။ အဲဒါေတြကေတာ့ aircraft ေတြရဲ႕ angle of roll နဲ႕ dip angle, pitch angle တို႕ပဲျဖစ္ပါတယ္။ ရွင္းေအာင္ထပ္ေျပာရရင္ေတာ့ aircraft ေတြ ဘယ္ညာေစာင္းတာနဲ႕ ေရွ႕ေနာက္စိုက္က်သြား လန္တက္သြားတဲ့ အခါမ်ိဳးေတြကိုေျပာတာျဖစ္ပါတယ္။ typical altimeter ေတြမွာေတာ့ angle of roll ၄၀-၅၀ ဒီဂရီ နဲ႕ dip angle, pitch angle ၂၀ ဒီဂရီအထိ လက္ခံထားပါတယ္။ အဲဒီဒီဂရီေတြအထိတိမ္းလုိ႕ေစာင္းလုိ႕ ျဖစ္လာတဲ့ error ေတြကို လက္ခံႏိုင္ေအာင္ဒီဇိုင္းလုပ္ထားပါတယ္။ အဲဒီဆိုးက်ိဳးေၾကာင့္ျဖစ္လာတဲ့ error ေတြကို gyro stabilization antenna assembly သံုးၿပီးျပန္ခ်ိန္ညွိပါတယ္။ ေျပာရရင္ေတာ့ aircraft ဘယ္လုိေစာင္းေစာင္း လႊင့္ထုတ္ဖမ္းယူေနတဲ့ radio beam ကိုတိမ္းေစာင္းမသြားပဲနဂိုအတိုင္းရွိေအာင္ (antenna ေစာင္းမသြားေအာင္) ထိန္းေပးတဲ့ပစၥည္းတပ္ဆင္အသံုးျပဳျခင္းအားျဖင့္ measurement accuracy ကိုျမွင့္တင္ေပးပါတယ္။ သို႔ေပမယ့္ အဲဒီ့နည္းလမ္းဟာ ကုန္က်စားရိတ္ျမင့္မားတဲ့အတြက္ မ်ားေသာအားျဖင့္ space system မ်ားအတြက္သာအသံုးျပဳေလ့ရွိၿပီး ေလယာဥ္မ်ား ဟယ္လီေကာ္ပတာမ်ားတြင္ေတာ့ wide diagram ရွိတဲ့ antenna မ်ားကိုအသံုးျပဳျခင္းျဖင့္ measurement accuracy ကိုျမွင့္တင္ေပးပါတယ္။

Table 1.1